Planck 與 BAO 對宇宙形狀的測量：封閉宇宙與平坦宇宙之爭的觀測方法比較

摘要

宇宙究竟是平坦（flat）、封閉（closed）還是開放（open），一直是現代宇宙學的重要課題。近年來，《Planck》衛星對宇宙微波背景（Cosmic Microwave Background, CMB）的分析顯示，若僅使用 Planck 2018（PL18）溫度與偏振資料，宇宙曲率參數（Ω_K）略偏向負值，即支持微弱封閉宇宙（slightly closed universe）。然而，一旦加入重子聲波振盪（Baryon Acoustic Oscillations, BAO）資料，最佳擬合又回到幾乎完全平坦（Ω_K≈0）。本文比較兩種觀測方法的物理原理、測量限制、模型依賴性及可能的系統誤差，探討兩者產生不同結論的可能原因。

一、宇宙曲率的物理意義

依據 FLRW 模型，宇宙空間幾何由曲率參數 k 描述，而觀測上常以無因次曲率參數 ΩK 表示，其中 ΩK=−k/(a²H²)（Weinberg, 2008, pp. 336–344[1]）。

● Ω_K=0：平坦宇宙（Flat Universe）

● Ω_K<0：封閉宇宙（Closed Universe）

● Ω_K>0：開放宇宙（Open Universe）

宇宙曲率決定光線傳播、宇宙體積、角直徑距離（Angular Diameter Distance）及宇宙最終命運，因此成為精密宇宙學的重要觀測目標。

二、Planck：來自早期宇宙的幾何測量

Planck 衛星觀測的是距今約 138 億年前、宇宙年齡約 38 萬年時形成的 CMB，因此主要測量的是早期宇宙幾何。

Planck 並非直接測量宇宙曲率，Planck 衛星透過 CMB 溫度與偏振功率譜中的聲學峰結構限制宇宙幾何（Aghanim et al., 2020[2]），而是透過：聲學峰位置（Acoustic Peaks）、CMB 重力透鏡（CMB Lensing）、溫度與偏振功率譜共同反推出宇宙幾何。

然而，在 Planck TT、TE、EE 功率譜中，研究者發現高多極矩（high-ℓ）區域的聲學峰比 Λ_CDM 模型預測更為平滑，表示重力透鏡效應似乎略強，因此最佳擬合得到Alens≈1.18，而非理論預期的Alens=1.

Planck 2018 power spectrum 分析中出現較高透鏡振幅偏好的現象（A_L > 1），造成曲率與透鏡效應之間的退化關係（Di Valentino et al., 2020[3]）。由於封閉宇宙（ΩK<0）亦會增加光線聚焦及透鏡效應，因此 Planck 出現著名的 Curvature – Lensing Degeneracy（曲率—透鏡退化），亦即：較大的透鏡效應，可以由較大的 Alens解釋，也可以由微弱封閉宇宙解釋。因此 Planck 單獨資料自然偏好Ω_K<0。

三、BAO：利用標準尺測量晚期宇宙

BAO 測量的是宇宙形成數十億年後的大尺度星系分布。其原理是：早期宇宙中的聲波留下固定尺度rsrs（Sound Horizon），此尺度成為宇宙中的「標準尺（Standard Ruler）」。BAO 將早期宇宙聲波留下的尺度作為標準尺，用於測量不同紅移下的距離尺度（Eisenstein et al., 2005[4]）。觀測不同紅移星系之間 BAO 峰的位置，可以推得：角直徑距離 DA(z)、哈伯參數 H(z)，再利用整體距離—紅移關係限制宇宙曲率。

由於 BAO 在不同紅移均得到一致結果，因此加入 BAO 後，ΩK迅速收斂至0.0. 大型星系巡天 BAO 分析持續對接近平坦宇宙提供強限制（Alam et al., 2021[5]; DESI Collaboration, 2024[6]）。目前所有大型 BAO 調查，包括 SDSS、BOSS、eBOSS 與 DESI，均支持接近平坦宇宙。

四、兩種方法測量原理的差異

表一比較了 Planck CMB 與 BAO 兩種測量宇宙曲率的方法。Planck 主要觀測宇宙早期約 38 萬年時留下的宇宙微波背景輻射，透過 CMB 光子的傳播、聲學峰位置以及重力透鏡效應，間接推論宇宙幾何，因此對早期宇宙物理模型（如聲學尺度、物質組成）高度依賴，但幾乎不受星系形成演化影響。相較之下，BAO 是利用晚期宇宙中星系分布所留下的重子聲波尺度作為「標準尺」，透過不同紅移下的距離測量限制宇宙曲率，因此較依賴星系形成、大尺度結構演化與晚期宇宙模型。兩者都不是直接測量曲率，而是透過不同時代、不同物理過程的幾何效應反推宇宙形狀，因此 Planck 與 BAO 出現差異時，可能反映的是觀測方法與模型假設的不同，而不一定代表其中一方錯誤。

表一、Planck CMB 與 BAO 測量宇宙曲率之觀測原理與模型依賴比較

比較項目	Planck CMB	BAO
觀測年代	約宇宙年齡38萬年	宇宙年齡38-100億（約20–100億年前）
測量對象	CMB 光子	星系分布
幾何來源	光線傳播與透鏡效應	標準尺距離
是否直接測量曲率	否	否
對星系形成依賴	幾乎沒有	很高
對早期宇宙物理依賴	很高	中等
對晚期宇宙模型依賴	中等	很高

可以看出，兩者事實上測量的是不同時代、不同物理過程，因此即使結果不同，也不一定表示其中一者錯誤。

五、Planck 的主要測量限制

（一）Cosmic Variance

大型角尺度（低 multipole）只能觀測一個宇宙，因此存在不可消除的宇宙變異（Cosmic Variance），限制了曲率測量精度。

（二）Curvature–Lensing Degeneracy

Planck 最大的限制在於ΩK與Alens高度相關。增加透鏡效應既可能代表：宇宙略封閉；也可能代表：存在未知系統誤差；Λ_CDM 模型之外的新物理。目前尚未有定論。

（三）參數退化（Parameter Degeneracy）

除了透鏡振幅參數 $A l e n s之外，哈伯常數H 0、物質密度參數Ω m、原初功率譜振幅A s以及再電離光深τ等宇宙學參數，亦與曲率參數Ω K存在參數退化（parameter degeneracy）。因此，僅利用Planck CMB功率譜資料時，難以單獨對Ω K給出非常精確且模型獨立的限制（Aghanim et al., 2020 [7]; Di Valentino et al., 2020 [8]）$

六、BAO 的主要測量限制

$BAO雖然被視為目前限制宇宙曲率最有力的方法，但仍具有若干模型依賴。$

（一）標準尺是否真正固定？

$BAO假設聲學尺度 rsr 固定不變。然而若： Early Dark Energy 、額外中微子（ Neff ）、中微子質量改變早期宇宙膨脹史，則 r s 亦可能改變。因此 BAO 推得之宇宙曲率亦可能受到影響。$

（二）Galaxy Bias

$BAO實際測量的是星系，而非暗物質本身。因此必須建立 Galaxy Bias 模型。若偏差模型存在尺度依賴（ Scale-dependent
Bias ），則 BAO 峰位置可能出現微小偏移。$

（三）Density Reconstruction

$現代 BAO 幾乎皆先利用 Density Reconstruction 還原初始密度場。雖然目前重建技術已十分成熟，但仍具有模型假設。$

（四）Alcock–Paczynski Effect

$BAO必須先假設一組參考宇宙模型（ Fiducial Cosmology ），才能將角度及紅移轉換為距離。若初始假設略有偏差，亦可能造成距離估計之系統性誤差。$

七、若封閉宇宙是真實宇宙，為何 BAO 仍可能偏向平坦？

目前已有若干理論提出可能性:

(一) 早期暗能量（Early Dark Energy, EDE）可能改變早期宇宙的膨脹歷史與聲學尺度 $r s，因此影響BAO作為標準尺推論宇宙幾何的結果（Poulin et al., 2019 [9]）。$

(二) 若宇宙在大尺度上並非完全符合 FLRW 均勻各向同性假設，而存在大尺度非均勻性，例如宇宙回饋效應（backreaction）或局部空洞（void）結構，則距離—紅移關係與曲率推論可能需要修正（Clarkson et al., 2012[10]）。

(三) BAO 測量仍涉及星系偏差（Galaxy Bias）、密度重建（Density Reconstruction）以及 Alcock–Paczynski 效應等系統因素，若模型修正不足，可能造成宇宙參數估計的微小偏移（Eisenstein et al., 2005[11]; Alam et al., 2021[12]）。

然而，目前尚無證據顯示上述因素足以完全解釋 Planck CMB 與 BAO 之間的曲率張力，因此此問題仍是現代宇宙學的重要研究方向（Di Valentino et al., 2020[13]）。

八、綜合比較

$表二比較Planck CMB與BAO在測量宇宙曲率時的優勢與限制。Planck透過宇宙早期的CMB輻射探測宇宙幾何，具有物理模型成熟且不依賴星系演化的優點，但受到宇宙變異（Cosmic Variance）、透鏡振幅異常（Aₗₑₙₛanomaly）以及參數退化等限制，因此單獨分析時可能偏向微弱封閉宇宙。相較之下，BAO利用晚期宇宙星系分布中的標準尺進行距離測量，具有多紅移、大樣本與較小統計誤差的優勢，但仍依賴聲學尺度校準、星系偏差（Galaxy Bias）、密度重建（Reconstruction）及參考宇宙模型。整體而言，Planck單獨資料曾提供支持封閉宇宙的訊號，但加入BAO等資料後，觀測結果逐漸回到接近平坦宇宙；目前BAO對Flat
Universe提供較強支持。然而，目前尚無任何單一機制能在不引入額外假設的情況下，同時解釋Planck CMB對負曲率的偏好與BAO對平坦宇宙的強限制，因此此張力仍屬於開放問題。表二、Planck CMB與BAO對宇宙曲率限制之優勢、限制與宇宙模型偏好的比較比較面向 Planck BAO 優點直接探測早期宇宙；物理模型成熟；幾乎不受星系演化影響多紅移測量；樣本龐大；統計誤差小缺點 Cosmic
Variance ； Alens anomaly ；參數退化依賴標準尺、 Galaxy Bias 、 Reconstruction 與 Fiducial Cosmology 是否支持 Closed Universe 是（僅 Planck 單獨資料）否是否支持 Flat Universe 加入其他資料後可支持強烈支持$

九、結論

$A$

(四) ΛCDM 下曲率演化與 Planck–BAO 張力

$然而，在目前標準 Λ CDM 模型中，暗能量直到宇宙演化較晚期（約紅移 z≲ 0.7）才開始主導膨脹。因此，從Planck所觀測的早期宇宙（約38萬年）到BAO所測量的晚期宇宙（數十億年）之間，僅依靠已知的暗能量加速效應，並不足以自然地將Planck單獨分析中偏好的微弱封閉宇宙（例如Ω K≈− 0.04）演化為BAO所支持的近乎平坦狀態（Ω K≈ 0）。換言之，如果未來更高精度觀測仍持續發現早期宇宙偏向封閉，而晚期宇宙偏向平坦，則除了可能存在尚未辨識的觀測系統誤差外，也可能意味著現行Λ CDM模型仍缺少某些重要物理機制，例如演化型暗能量（Early/Evolving
Dark Energy）、修正重力理論，或其他能改變宇宙距離—紅移關係與重力透鏡效應的新物理。綜合以上三點，目前 Planck CMB 與 BAO 對宇宙曲率的測量尚未呈現完全一致的結果。 Planck 單獨資料因受到曲率與重力透鏡效應退化的影響，曾顯示微弱封閉宇宙的偏好；而 BAO 則透過晚期宇宙的大尺度結構測量，持續支持接近平坦宇宙。雖然宇宙膨脹可使觀測到的曲率參數 Ω K逐漸趨近於零，但在標準Λ CDM模型下，已知膨脹機制尚不足以自然解釋早期封閉訊號與晚期平坦結果之間的差異。因此，這項張力可能源自觀測系統誤差、參數退化，或暗示現有宇宙模型仍需要新的物理機制加以完善。十、參考文獻[1] Weinberg, S. (2008). Cosmology .
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evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology. Nature Astronomy, 4,
196–203. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0906-9$

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