Planck 與 BAO 對宇宙形狀的測量：封閉宇宙與平坦宇宙之爭的觀測方法比較

摘要

宇宙究竟是平坦（flat）、封閉（closed）還是開放（open），一直是現代宇宙學的重要課題。近年來，《Planck》衛星對宇宙微波背景（Cosmic Microwave Background, CMB）的分析顯示，若僅使用 Planck 2018（PL18）溫度與偏振資料，宇宙曲率參數（Ω_K​）略偏向負值，即支持微弱封閉宇宙（slightly closed universe）。然而，一旦加入重子聲波振盪（Baryon Acoustic Oscillations, BAO）資料，最佳擬合又回到幾乎完全平坦（Ω_K ≈ 0）。本文比較兩種觀測方法的物理原理、測量限制、模型依賴性及可能的系統誤差，探討兩者產生不同結論的可能原因。

 

一、宇宙曲率的物理意義

依據 FLRW 模型，宇宙空間幾何由曲率參數 k 描述，而觀測上常以無因次曲率參數 ΩK 表示，其中 ΩK=−k/(a²H²)（Weinberg, 2008, pp. 336–344[1]）。

● ΩK=0：平坦宇宙（Flat Universe）

● ΩK<0：封閉宇宙（Closed Universe）

● ΩK>0：開放宇宙（Open Universe）

宇宙曲率決定光線傳播、宇宙體積、角直徑距離（Angular Diameter Distance）及宇宙最終命運，因此成為精密宇宙學的重要觀測目標（圖一）。

圖一、宇宙的三種可能的形狀（取自thestargarden.co網站）

二、Planck：來自早期宇宙的幾何測量

Planck 衛星觀測的是距今約 138 億年前、宇宙年齡約 38 萬年時形成的 CMB，因此主要測量的是早期宇宙幾何。

Planck 並非直接測量宇宙曲率，Planck 衛星透過 CMB 溫度與偏振功率譜中的聲學峰結構限制宇宙幾何（Aghanim et al., 2020[2]），而是透過：聲學峰位置（Acoustic Peaks）、CMB 重力透鏡（CMB Lensing）、溫度與偏振功率譜共同反推出宇宙幾何。

然而，在 Planck TT（溫度—溫度）、TE（溫度偏振）、EE （偏振—偏振）功率譜中，研究者發現高多極矩（high-ℓ）區域的聲學峰比 Λ_CDM 模型預測更為平滑，表示重力透鏡效應似乎略強，因此最佳擬合得到Alens≈1.18，而非理論預期的Alens=1.

Planck 2018 power spectrum 分析中出現較高透鏡振幅偏好的現象（A_L > 1），造成曲率與透鏡效應之間的退化關係（Di Valentino et al., 2020[3]）。由於封閉宇宙（ΩK<0）亦會增加光線聚焦及透鏡效應，因此 Planck 出現著名的 Curvature – Lensing Degeneracy（曲率—透鏡退化），亦即：較大的透鏡效應，可以由較大的 Alens解釋，也可以由微弱封閉宇宙解釋。因此 Planck 單獨資料自然偏好Ω_K<0（圖二）。

圖二、空間曲率參數（Ωₖ）與透鏡振幅參數（Aₗₑₙₛ）之間的參數退化（Di Valentino et al., 2020)

三、BAO：利用標準尺測量晚期宇宙

BAO 測量的是宇宙形成數十億年後的大尺度星系分布。其原理是：早期宇宙中的聲波留下固定尺度rsrs​（Sound Horizon），此尺度成為宇宙中的「標準尺（Standard Ruler）」。BAO 將早期宇宙聲波留下的尺度作為標準尺，用於測量不同紅移下的距離尺度（Eisenstein et al., 2005[4]）。觀測不同紅移星系之間 BAO 峰的位置，可以推得：角直徑距離 DA(z)、哈伯參數 H(z)，再利用整體距離—紅移關係限制宇宙曲率。（圖三）

圖三、早期宇宙的聲波留下固定尺度，這個尺度成為宇宙尺，用來測量宇宙形狀與演化。

由於 BAO 在不同紅移均得到一致結果，因此加入 BAO 後，ΩK迅速收斂至0.0. 大型星系巡天 BAO 分析持續對接近平坦宇宙提供強限制（Alam et al., 2021[5]; DESI Collaboration, 2024[6]）。目前所有大型 BAO 調查，包括 SDSS、BOSS、eBOSS 與 DESI，均支持接近平坦宇宙。

 

四、兩種方法測量原理的差異

表一比較了 Planck CMB 與 BAO 兩種測量宇宙曲率的方法。Planck 主要觀測宇宙早期約 38 萬年時留下的宇宙微波背景輻射，透過 CMB 光子的傳播、聲學峰位置以及重力透鏡效應，間接推論宇宙幾何，因此對早期宇宙物理模型（如聲學尺度、物質組成）高度依賴，但幾乎不受星系形成演化影響。相較之下，BAO 是利用晚期宇宙中星系分布所留下的重子聲波尺度作為「標準尺」，透過不同紅移下的距離測量限制宇宙曲率，因此較依賴星系形成、大尺度結構演化與晚期宇宙模型。兩者都不是直接測量曲率，而是透過不同時代、不同物理過程的幾何效應反推宇宙形狀，因此 Planck 與 BAO 出現差異時，可能反映的是觀測方法與模型假設的不同，而不一定代表其中一方錯誤。

 

表一、Planck CMB 與 BAO 測量宇宙曲率之觀測原理與模型依賴比較

比較項目	Planck CMB	BAO
觀測年代	約宇宙年齡38萬年（約138億年前）	宇宙年齡38-100億（約20–100億年前）
測量對象	CMB 光子	星系分布
幾何來源	光線傳播與透鏡效應	標準尺距離
是否直接測量曲率	否	否
對星系形成依賴	幾乎沒有	很高
對早期宇宙物理依賴	很高	中等
對晚期宇宙模型依賴	中等	很高

 

可以看出，兩者事實上測量的是不同時代、不同物理過程，因此即使結果不同，也不一定表示其中一者錯誤（圖四）。

圖四、不同宇宙學觀測探針對宇宙曲率參數 Ωₖ 的聯合約束比較

五、Planck 的主要測量限制

（一）宇宙變異（Cosmic Variance）

大型角尺度（低 multipole）只能觀測一個宇宙，因此存在不可消除的宇宙變異（Cosmic Variance），限制了曲率測量精度。

（二）曲率—透鏡退化（Curvature–Lensing Degeneracy ）

Planck 最大的限制在於Ω_K​與Alens高度相關。增加透鏡效應既可能代表：宇宙略封閉；也可能代表：存在未知系統誤差；Λ_CDM 模型之外的新物理。目前尚未有定論。

（三）參數退化（Parameter Degeneracy）

除了透鏡振幅參數 Alens之外，哈伯常數 H0、物質密度參數 Ωm、原初功率譜振幅 As以及再電離光深 τ等宇宙學參數，亦與曲率參數 Ω_K​存在參數退化（parameter degeneracy）。因此，僅利用 Planck CMB 功率譜資料時，難以單獨對 ΩK 給出非常精確且模型獨立的限制（Aghanim et al., 2020[7]; Di Valentino et al., 2020[8]）

六、BAO 的主要測量限制

（一）標準尺是否真正固定？

（二）星系偏差（Galaxy Bias）

BAO 實際測量的是星系，而非暗物質本身。因此必須建立Galaxy Bias模型。若偏差模型存在尺度依賴（Scale-dependent Bias），則 BAO 峰位置可能出現微小偏移。

（三）密度重建（Density Reconstruction）

（四）Alcock–Paczynski Effect

七、若封閉宇宙是真實宇宙，為何 BAO 仍可能偏向平坦？

目前已有若干理論提出可能性:

(一)       早期宇宙物理對 BAO 標準尺的影響

早期暗能量（Early Dark Energy, EDE）可能改變早期宇宙的膨脹歷史與聲學尺度 rs，因此影響 BAO 作為標準尺推論宇宙幾何的結果（Poulin et al., 2019[9]）。

(二)        大尺度結構對標準宇宙模型的挑戰

若宇宙在大尺度上並非完全符合 FLRW 均勻各向同性假設，而存在大尺度非均勻性，例如宇宙回饋效應（back reaction）或局部空洞（void）結構，則距離—紅移關係與曲率推論可能需要修正（Clarkson et al., 2012[10]）。

(三)        BAO 觀測分析中的系統誤差與模型限制

BAO 測量仍涉及星系偏差（Galaxy Bias）、密度重建（Density Reconstruction）以及 Alcock–Paczynski 效應等系統因素，若模型修正不足，可能造成宇宙參數估計的微小偏移（Eisenstein et al., 2005[11]; Alam et al., 2021[12]）。

然而，目前尚無證據顯示上述因素足以完全解釋 Planck CMB 與 BAO 之間的曲率張力，因此此問題仍是現代宇宙學的重要研究方向（Di Valentino et al., 2020[13]）。

八、綜合比較

表二比較 Planck CMB 與 BAO 在測量宇宙曲率時的優勢與限制。Planck 透過宇宙早期的 CMB 輻射探測宇宙幾何，具有物理模型成熟且不依賴星系演化的優點，但受到宇宙變異（Cosmic Variance）、透鏡振幅異常（Aₗₑₙₛ anomaly）以及參數退化等限制，因此單獨分析時可能偏向微弱封閉宇宙。相較之下，BAO 利用晚期宇宙星系分布中的標準尺進行距離測量，具有多紅移、大樣本與較小統計誤差的優勢，但仍依賴聲學尺度校準、星系偏差（Galaxy Bias）、密度重建（Reconstruction）及參考宇宙模型。整體而言，Planck 單獨資料曾提供支持封閉宇宙的訊號，但加入 BAO 等資料後，觀測結果逐漸回到接近平坦宇宙；目前 BAO 對 Flat Universe （平坦宇宙）提供較強支持。然而，目前尚無任何單一機制能在不引入額外假設的情況下，同時解釋 Planck CMB 對負曲率的偏好與 BAO 對平坦宇宙的強限制，因此此張力仍屬於開放問題。

表 二、 Planck CMB 與 BAO 對宇宙曲率限制之優勢、限制與宇宙模型偏好的比較

$ 比較面向 Planck BAO 優點 直接探測早期宇宙；物理模型成熟；幾乎不受星系演化影響 多紅移測量；樣本龐大；統計誤差小 缺點 Cosmic Variance；Alens anomaly；參數退化 依賴標準尺、Galaxy Bias、Reconstruction 與 Fiducial Cosmology 是否支持 Closed Universe 是（僅 Planck 單獨資料） 否 是否支持 Flat Universe 加入其他資料後可支持 強烈支持   $

九、結論

(一) 綜合觀測結果與目前宇宙曲率爭議

${\mathrm{<span><span\; class="katex-mathml"><p\; style="font-size:\; 12pt;"><a\; name="\_evx2kptzx8vb"></a></p>\; </span></span>}}_{}$

目前的觀測證據尚未形成完全一致的結論。

1. Planck 對封閉宇宙的微弱偏好：曲率與重力透鏡效應的退化問題

Planck CMB 單獨資料顯示，宇宙曲率與重力透鏡效應之間存在明顯的參數退化，並對微弱封閉宇宙（closed universe）給出約 2–3σ 等級的統計偏好；

2. BAO 對平坦宇宙的支持：不同觀測方法下的宇宙模型檢驗

然而，BAO 透過不同紅移的大尺度星系結構測量，則持續支持接近平坦宇宙（flat universe）。因此，Planck 與 BAO 的差異不一定代表其中一種觀測方法錯誤，而可能反映兩者所探測的物理時代、測量方式與模型依賴有所不同。從方法學角度來看，Planck 主要限制來自宇宙變異（Cosmic Variance）、重力透鏡振幅異常（AlensA）以及宇宙學參數退化；而 BAO 的限制則主要來自標準尺校準、星系偏差（Galaxy Bias）、密度重建（Density Reconstruction）以及參考宇宙模型（Fiducial Cosmology）的依賴。兩者之間的張力，可能反映尚未完全掌握的系統誤差，也可能暗示標準 ΛCDM 模型仍存在需要修正之處。

(二) 封閉宇宙是否可能仍呈現平坦觀測結果？

在標準廣義相對論與 ΛCDM 宇宙學模型中，宇宙空間曲率由曲率常數 k決定；一旦宇宙的拓樸與幾何性質確立，k本身不會隨宇宙演化而改變。因此，宇宙加速膨脹並不會使真正的封閉宇宙（k=+1）轉變為平坦宇宙（k=0）。然而，觀測上使用的曲率參數並不是 k，而是：Ω_K​=−k /(a^2H^2) ，其中 a為尺度因子，H 為哈伯參數。真正保持不變的是離散曲率常數 k，而 ΩK ​ 會隨宇宙膨脹而改變。隨著尺度因子 a增大，尤其是在暴脹（inflation）時期快速膨脹後，曲率半徑（radius of curvature）增加，使宇宙在局部尺度上呈現越來越接近平坦的狀態。因此，即使宇宙本質上具有封閉幾何，其觀測結果仍可能顯示極接近平坦。類似情況也適用於晚期宇宙由宇宙常數（Λ）造成的加速膨脹，其效果是持續增加曲率半徑，使觀測到的 ∣Ω_K​∣逐漸降低。

(三) ΛCDM 下曲率演化與 Planck–BAO 張力

然而，在目前標準 ΛCDM 模型中，暗能量直到宇宙演化較晚期（約紅移 z ≲ 0.7）才開始主導膨脹。因此，從 Planck 所觀測的早期宇宙（約 38 萬年）到 BAO 所測量的晚期宇宙（數十億年）之間，僅依靠已知的暗能量加速效應，並不足以自然地將 Planck 單獨分析中偏好的微弱封閉宇宙（例如 Ω_K​≈−0.04）演化為 BAO 所支持的近乎平坦狀態（Ω_K​ ≈ 0）。換言之，如果未來更高精度觀測仍持續發現早期宇宙偏向封閉，而晚期宇宙偏向平坦，則除了可能存在尚未辨識的觀測系統誤差外，也可能意味著現行 ΛCDM 模型仍缺少某些重要物理機制，例如演化型暗能量（Early/Evolving Dark Energy）、修正重力理論，或其他能改變宇宙距離—紅移關係與重力透鏡效應的新物理。

（四）可觀測宇宙中的曲率測量與平坦性結論（Planck 與 BAO 的綜合限制）

目前宇宙學的 Planck CMB 與 BAO 都只能測量「可觀測宇宙」內的幾何，而無法直接觀測整個宇宙的全域結構；CMB 透過最後散射面的聲學角尺度對曲率非常敏感，但其推論容易與早期宇宙物理參數產生退化，因此單獨分析時曾出現輕微偏向封閉宇宙的結果；BAO 則利用不同紅移下星系分布中的標準尺，提供跨時間尺度的距離約束，能有效打破 CMB 的退化，使整體結果更穩定地收斂到 ΩK​ ≈ 0。這代表「大尺度空間在可觀測範圍內接近平坦」，但仍不能排除另一種可能：若整個宇宙(entire/whole universe) 的曲率半徑遠大於可觀測宇宙(observable universe，在封閉宇宙時可能為465億光年，在平坦宇宙可能假設為無限大)，那麼無論是 Planck 還是 BAO，都只能觀測到近似平坦的局部幾何，因此，目前所謂「宇宙平坦」的結論，主要是對可觀測宇宙尺度內幾何狀態的限制，而不是對整個宇宙形狀的直接證明。若宇宙尺度（或曲率半徑）遠大於可觀測宇宙，即使整體宇宙具有有限曲率，我們在現有觀測範圍內仍可能得到近似 ΩK = 0 的測量結果(表三)。

表三、不同宇宙年齡下的可觀測宇宙尺度與主要觀測方法（CMB 與 BAO）

宇宙年齡（約）	宇宙狀態	當時可觀測宇宙尺度（物理半徑）	主要觀測方法	可探測內容
38萬年	CMB最後散射，光子開始自由傳播	約 數千萬光年	Planck Collaboration CMB	聲學峰、角尺度、早期宇宙幾何、曲率限制
約10億年	第一代星系形成	約 數十億光年	CMB遺留訊息＋星系巡天	結構形成
約30–50億年	星系演化、暗能量開始主導	約 數百億光年	BAO（重子聲波振盪）	標準尺測量、膨脹歷史
約38億年（距今約100億年前）	較早期星系時代	約 數百億光年	BAO＋超新星	距離－紅移關係
約118億年（距今約20億年前）	晚期宇宙	接近今日尺度	BAO、大尺度結構	加速膨脹、宇宙幾何
138億年（現在）	現今宇宙	465億光年	CMB＋BAO＋其他觀測	ΩK（曲率）、暗能量、宇宙模型

       綜合以上四點，目前 Planck CMB 與 BAO 對宇宙曲率的測量尚未完全一致：在部分 CMB 資料組合與模型假設下，Planck 曾因曲率與重力透鏡等參數退化而出現對微弱封閉宇宙的輕微偏好，但此結果並不穩定且依賴模型設定；相對地，BAO 透過多紅移尺度的星系分布與標準尺測量，提供跨時代的幾何約束，使曲率參數更穩定地收斂至 Ω_K​ ≈ 0。這種差異並不必然意味其中一種觀測錯誤，而反映了不同宇宙時代、測量方法與模型退化結構的差異。CMB（Planck）之所以對宇宙曲率更靈敏，不是因為它觀測的“宇宙更小”，而是因為它提供了來自最遠散射面的整體角尺度投影，使得曲率效應在整個天空範圍被最大化累積；而 BAO 是局部標準尺測量，對曲率的敏感度較弱。

在理論上，宇宙的幾何拓樸由曲率常數 k 決定且不隨時間改變，但可觀測量 Ω_K​ 會隨尺度因子與哈伯膨脹演化，因此即使宇宙本質上存在非零曲率，其在宇宙膨脹與暴脹效應下也可能在觀測上逐漸趨近於零，使局部可觀測尺度呈現近似平坦幾何。

因此，目前最穩健的整體結論是：在可觀測宇宙範圍內，大尺度空間幾何與平坦宇宙一致性極高，但仍無法排除整體宇宙尺度遠大於可觀測範圍、或存在極小但非零曲率的可能性；現有的「平坦宇宙」結論，本質上是對可觀測宇宙幾何的強約束，而非對整體宇宙拓樸的直接證明。

十、參考文獻

[1] Weinberg, S. (2008). Cosmology. Oxford University Press. pp. 336-344.


[2] Aghanim, N., et al. (Planck Collaboration). (2020). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy & Astrophysics, 641, A6. https://doi.org/10.1051/0004-6361/201833910


[3] Di Valentino, E., Melchiorri, A., & Silk, J. (2020). Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology. Nature Astronomy, 4, 196–203. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0906-9


[4] Eisenstein, D. J., et al. (2005). Detection of the baryon acoustic peak in the large-scale correlation function of SDSS luminous red galaxies. The Astrophysical Journal, 633(2), 560–574.
https://doi.org/10.1086/466512


[5] Alam, S., et al. (eBOSS Collaboration). (2021). Completed SDSS-IV extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey: Cosmological implications from two decades of spectroscopic surveys at the Apache Point Observatory. Physical Review D, 103(8), 083533. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.103.083533


[6] DESI Collaboration. (2024). DESI 2024 VI: Cosmological constraints from the measurements of baryon acoustic oscillations. arXiv:2404.03002.


[7] Aghanim, N., et al. (Planck Collaboration). (2020). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy & Astrophysics, 641, A6. https://doi.org/10.1051/0004-6361/201833910


[8] Di Valentino, E., Melchiorri, A., & Silk, J. (2020). Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology. Nature Astronomy, 4, 196–203. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0906-9


[9] Poulin, V., Smith, T. L., Karwal, T., & Kamionkowski, M. (2019). Early Dark Energy can resolve the Hubble tension. Physical Review Letters, 122(22), 221301. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.221301


[10] Clarkson, C., Ellis, G., Larena, J., & Umeh, O. (2012). Does the growth of structure affect our dynamical models of the universe? Reports on Progress in Physics, 74(11), 112901.


[11] Eisenstein, D. J., et al. (2005). Detection of the baryon acoustic peak in the large-scale correlation function of SDSS luminous red galaxies. The Astrophysical Journal, 633(2), 560–574. https://doi.org/10.1086/466512


[12] Alam, S., et al. (2021). Completed SDSS-IV extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey: Cosmological implications from two decades of spectroscopic surveys at the Apache Point Observatory. Physical Review D, 103(8), 083533. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.103.083533


[13] Di Valentino, E., Melchiorri, A., & Silk, J. (2020). Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology. Nature Astronomy, 4, 196–203. https://doi.org/10.1038/s41550-019-0906-9